# В выпуклом четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶; ∠𝐴𝐵𝐷 + ∠𝐶𝐷𝐵 = 180∘ . Докажите, что ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷

Для доказательства, что \( \angle BAD = \angle BCD \) в выпуклом четырёхугольнике \( ABCD \), где \( AD = BC \) и \( \angle ABD + \angle CDB = 180^\circ \), воспользуемся свойствами углов и треугольников.

1. Обозначим углы: пусть \( \angle BAD = \alpha \), \( \angle BCD = \beta \), \( \angle ABD = x \), \( \angle CDB = y \).

2. Согласно условию, у нас есть:
   \[
   x + y = 180^\circ.
   \]

3. Рассмотрим треугольники \( ABD \) и \( CDB \):

   В треугольнике \( ABD \):
   \[
   \angle ADB = 180^\circ - (x + \alpha) = 180^\circ - x - \alpha.
   \]

   В треугольнике \( CDB \):
   \[
   \angle CDB = y.
   \]

4. Из условия следует, что \( AD = BC \), следовательно, треугольники \( ABD \) и \( CDB \) являются равнобедренными (по двум равным боковым сторонам \( AD = BC \)).

5. В равнобедренном треугольнике \( CDB \) имеем:
   \[
   \angle CDB = \angle BDC = y.
   \]

6. Из условия о прямых углах мы имеем:
   \[
   x + y = 180^\circ \Longrightarrow y = 180^\circ - x.
   \]

7. В равнобедренном треугольнике \( ABD \) так же:
   \[
   \angle DAB = \angle ADB = 180^\circ - x - \alpha.
   \]

8. Так как треугольники являются равнобедренными и \( AD = BC \), углы при основаниях этих треугольников равны:
   \[
   \angle BAD = \angle BCD,
   \]
   то есть:
   \[
   \alpha = \beta.
   \]

Таким образом, мы получили, что \( \angle BAD = \angle BCD \) в выпуклом четырехугольнике \( ABCD \) при указанных условиях. Таким образом, утверждение доказано.