# Дима решил заниматься спортом и начал отжиматься каждое утро. В первое утро он сделал 10 отжиманий, а каждое следующее утро он делал на одно и то же количество отжиманий больше, чем в предыдущее утро. За первые 13 дней он сделал всего 364 отжимания. Сколько отжиманий сделал Дима в восьмой день?

Пусть Дима каждое утро делает на \( d \) отжиманий больше, чем в предыдущее утро. В таком случае количество отжиманий в каждый из дней можно описать следующими выражениями:

- 1-й день: \( 10 \)
- 2-й день: \( 10 + d \)
- 3-й день: \( 10 + 2d \)
- 4-й день: \( 10 + 3d \)
- ...
- 13-й день: \( 10 + 12d \)

Общее количество отжиманий за первые 13 дней можно записать как сумму арифметической прогрессии:

\[
S = 10 + (10 + d) + (10 + 2d) + \ldots + (10 + 12d)
\]

Эту сумму можно упорядочить:

\[
S = 13 \cdot 10 + (0 + 1 + 2 + \ldots + 12)d
\]

Сумма первых \( n \) натуральных чисел (в данном случае от 0 до 12) вычисляется по формуле \( \frac{n(n+1)}{2} \). Поэтому:

\[
0 + 1 + 2 + \ldots + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78
\]

Подставим это значение в уравнение для суммы:

\[
S = 130 + 78d
\]

Поскольку известно, что общее количество отжиманий за 13 дней составляет 364, мы получаем уравнение:

\[
130 + 78d = 364
\]

Вычтем 130 из обеих сторон:

\[
78d = 234
\]

Теперь разделим обе стороны на 78:

\[
d = \frac{234}{78} = 3
\]

Теперь мы знаем, что Дима увеличивает количество отжиманий на 3 каждое утро. Найдем, сколько отжиманий он сделал в 8-й день:

Количество отжиманий в 8-й день будет равно:

\[
10 + 7d = 10 + 7 \cdot 3 = 10 + 21 = 31
\]

Таким образом, Дима сделал **31 отжимание** в восьмой день.